Browsing by Author "Schoen, Tomasz. Promotor"
Now showing 1 - 3 of 3
Results Per Page
Sort Options
Item Ramseyowskie własności równań liniowych(2018) Taczała, Katarzyna; Schoen, Tomasz. PromotorCelem tej pracy jest rozwiązanie dwóch problemów typu Ramseyowskiego dotyczących równań liniowych. W pierwszej części pracy będziemy badali równanie x1+…+xk=y1+…+yk+b, gdzie b jest pewną dodatnią liczbą całkowitą. Potwierdzimy hipotezę Foxa i Kleitmana o stopniu regularności pokazując, że istnieje taka liczba całkowita b=b(n) zależna od liczby zmiennych, że dowolne kolorowanie liczb naturalnych przy użyciu 2n-1 kolorów zawiera monochromatyczne rozwiązanie tego równania. Dowód tego wyniku będzie wymagał uogólnienia twierdzenia strukturalnego Eberharda, Greena i Mannersa o zbiorach o stałej podwojenia mniejszej od 4. W drugiej części pracy będziemy rozważali uogólnione równanie Schura x1+…+xk-1=xk. Częściowo odpowiemy na pytanie Datskovsky'ego o minimalną liczbę monochromatycznych rozwiązań tego równania w 2-kolorowaniach grupy cyklicznej, gdy k jest liczbą parzystą.Item Wybrane zagadnienia addytywne kombinatorycznej teorii liczb(2012-12-08) Radziejewska, Mirosława; Schoen, Tomasz. PromotorPraca ma na celu przedstawienie kilku wyników dotyczących zagadnień addytywnych kombinatorycznej teorii liczb. Każdy z rozdziałów dotyczy innej tematyki. Rozdział pierwszy zawiera wykaz stosowanych oznaczeń oraz definicje. W rozdziale drugim omawiane są pewne własności minimalnych baz asymptotycznych. Erdős i Nathanson pokazali, że dla każdej liczby naturalnej h≥ 2 istnieje minimalna baza asymptotyczna A rzędu h o gęstości równej 1/h. Erdős i Nathanson pytają w swej pracy, czy jest możliwe wzmocnienie tego wyniku, tj. czy istnieje minimalna baza asymptotyczna rzędu h≥ 2 taka, że A(k)=k/h+O(1). Innym postawionym przez Erdősa i Nathansona problemem jest stwierdzenie istnienia minimalnej bazy asymptotycznej A={a0, a1, a2,…}, dla której limsup (ai+1-ai)=3. W tej części pracy odpowiemy twierdząco na oba postawione pytania. Przedstawiona zostanie konstrukcja minimalnej bazy asymptotycznej rzędu dwa, której funkcja licząca spełnia warunek k/2 ≤ A(k) ≤ k/2+1 dla k⊆N oraz taka, że kolejne dwa elementy bazy różnią się od siebie o co najwyżej trzy. Pokazane zostanie także, że nie istnieje minimalna baza asymptotyczna rzędu dwa, dla której funkcja licząca spełniałaby warunek k/2+1/2 ≤ A(k) ≤ k/2+Cdla wszystkich dostatecznie dużych k ⊆ N, gdzie C jest dodatnią stałą. Rozdział trzeci dotyczy addytywnych własności ciągu Fibonacciego. Erdős, Sarközy i Sós udowodnili, że dla dowolnego dwukolorowania zbioru liczb naturalnych E(n)=|E⊆ [n]| ≤ (log n)/(log ((1+51/2)/2)) dla każdego n ⊆ N, gdzie E oznacza zbiór tych dodatnich parzystych liczb całkowitych, których nie można przedstawić w postaci sumy dwóch różnych elementów jednego ze zbiorów dwupodziału. W tym rozdziale wykażemy, że nierówności podanej przez Erdős'a, Sarközy'ego i Sós nie można poprawić. Wskażemy mianowicie konstrukcję takiego dwupodziału zbioru liczb naturalnych, że żadna liczba Gn=2Fn (gdzie (Fn)n⊆N jest ciągiem Fibonacciego) nie posiada monochromatycznej reprezentacji. Pokażemy też, że każdy podzbiór A zbioru liczb naturalnych taki, że do zbioru różnic A-A nie należy żadna liczba Fibonacciego ma gęstość dolną mniejszą niż 7/36 oraz że istnieje zbiór o podanej własności mający gęstość równą 19/110. Stosując tę samą ideę dowodu uzyskany rezultat można poprawić rozważając dokładniej warunki początkowe. Metoda ta nie daje jednak możliwości uzyskania optymalnego wyniku. W rozdziale czwartym omawiamy problem oszacowania wielkości zbioru A⊆Zp (gdzie Zp=Z/pZ) na podstawie znajomości minimalnej liczby reprezentacji elementów zbioru sum A+A. Udowodnimy mianowicie dwa nowe oszacowania dolne największej liczby naturalnej n takiej, że dla dowolnego zbioru A⊆Zp o co najwyżej n elementach istnieje co najmniej jeden element w zbiorze A+A, który można przedstawić w postaci sumy elementów z A na mniej niż K sposobów (liczbę tę oznaczamy fK(p)). W oparciu o lemat Shkredov'a pokażemy, że dla K ≥ 2 mamy fK(p) ≥ c1(K log p)/((log K + log log p)log log p). Stosując natomiast lemat Chang w miejsce lematu Shkredov'a dostajemy, że dla K ≥ 2 mamy fK(p) ≥ (K log p)/(2(log K + 2log log p)(4+ log log K + log log log p))-1. Wynik drugi poprawia pierwszy rezultat. Szczególnie ciekawy jest przypadek K=clog p. Wówczas otrzymujemy fK(p) ≥ (c2(log p)2)/((log log p)(log log log p)), co poprawia oszacowanie podane przez Łuczaka i Schoena. Oba dowody wykorzystują ponadto klasyczne twierdzenie Dirichleta.Item Zastosowania metod kombinatoryki addytywnej do wybranych zagadnień multiplikatywnych(2019) Bystrzycki, Rafał; Schoen, Tomasz. PromotorGłównym celem pracy jest badanie różnych sposobów, w jakie kombinatoryka addytywna może być wykorzystana do radzenia sobie z pewnymi zagadnieniami pojawiającymi się w multiplikatywnej teorii liczb. Najważniejsza część pracy dotyczy następującego problemu: dla pewnej liczby naturalnej n i pewnej liczby pierwszej p jest nam dany zbiór reszt modulo p wszystkich dzielników liczby n i chcielibyśmy stwierdzić, które z nich odpowiadają jej czynnikom pierwszym. Przedstawiony jest algorytm rozwiązujący ten problem dla p i n spełniających pewne naturalne warunki i zostaje pokazane, że jest wiele takich liczb. Interesującą cechą przedstawionego dowodu jest to, że wymaga on użycia kombinatoryki addytywnej. W kolejnej części pracy rozważana jest suma wyrażeń exp(a2r/q ) dla wszystkich r należących do podgrupy multiplikatywnej reszt modulo q generowanej przez element 2. Podajemy górne oszacowanie wartości bezwzględnej z lepszą stałą niż dotychczas znana. W ostatniej części pracy rozważane są oszacowania na wielkość zbioru wszystkich sum postaci c1a1+c2a2+…+ckak, gdzie ci są ustalonymi współczynnikami, zaś ai są elementami zbioru A. Seria oszacowań górnych wielkości tego zbioru jest udowodniona dla A spełniającego |A+A| < K |A|. Najlepsze oszacowania dostajemy w przypadkach, gdy K jest znacznie mniejsze niż h oraz gdy zbiór współczynników ci ma pewną strukturę addytywną.