2026-10-02T08:13:33Zhttps://repozytorium.amu.edu.pl/server/oai/requestoai:repozytorium.amu.edu.pl:10593/130342026-07-09T10:12:09Zcom_10593_8com_10593_51col_10593_769col_10593_357
AMUR - Repozytorium Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
advisor
Pawałowski, Krzysztof. Promotor
author
Politarczyk, Wojciech
2015-05-18T10:07:34Z
2015-05-18T10:07:34Z
2015-05-18
http://hdl.handle.net/10593/13034
Rozprawa ta prezentuje konstrukcję wariantu homologii Khovanova dla tzw. splotów periodycznych, czyli splotów posiadających pewną symetrię. Ta wersja homologii Khovanova uwzględnia symetrie splotów. Przy pomocy metod algebry homologicznej, takich jak funktory pochodne i ciągi spektralne, oraz teorii całkowitoliczbowych reprezentacji grup cyklicznych podajemy konstrukcję i opisujemy podstawowe własności ekwiwariantnych homologii Khovanova. Dodatkowo, konstruujemy ciąg spektralny, który pozwala wyliczać ekwiwariantne homologie Khovanova. Ciąg ten jest adaptacją motkowego ciągu dokładnego. W dalszej części wyliczany wymierne ekwiwariantne homologie Khovanova splotów torusowych T(n,2). Oprócz tego, rozważamy ekwiwariantne odpowiedniki wielomianu Jonesa. Pokazujemy, że spełniają one odpowiednik relacji motkowej dla klasycznego wielomianu Jonesa i używamy tej własności do wzmocnienia kryterium periodyczności splotu podanego przez J.H. Przytyckiego. Dodatkowo, wyprowadzamy sumę statystyczną dla ekwiwariantnych odpowiedników wielomianu Jonesa. Konsekwencją tego faktu jest klasyczna kongruencja podana przez K. Murasugiego.
This thesis presents a construction of a variant of the Khovanov homology for periodic links, i.e, links with certain kind of symmetry. This version takes into account symmetries of links. We use elements of homological algebra, like derived functors and spectral sequences, and integral representation theory of finite cyclic groups to construct and describe properties of the equivariant Khovanov homology. Further, we develop a spectral sequence for computing the equivariant Khovanov homology. We use this spectral sequence to compute the rational equivariant Khovanov homology of torus links T(n,2). Apart from that, we also study properties of the equivariant analogues of the Jones polynomial. We show that they satisfy certain version of the skein relation and use it to generalize a result of J.H.~Przytycki, which is a criterion for periodicity of a link in terms of its Jones polynomial. Additionally, we develop a state sum formula for the equivariant analogues of the Jones polynomial, which enables us to reprove the classical congruence of K. Murasugi.
en
info:eu-repo/semantics/openAccess
periodyczne węzły
periodic knots
periodyczne sploty
periodic links
homologie Khovanova
Khovanov homology
wielomian Jonesa
Jones polynomial
Homologie Khovanova splotów symetrycznych
doctoral thesis
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
URL
https://repozytorium.amu.edu.pl/bitstreams/c873afee-7f8d-4915-9c9f-6f9a3de84141/download
File
MD5
f049e1f1e51d47e902480ec65a0c35a6
730329
application/pdf
politarczyk_phd.pdf
URL
https://repozytorium.amu.edu.pl/bitstreams/5b0421b3-0e81-45dd-a097-823cc14af6e6/download
File
MD5
0b957d43c18ab7e3518b049d689a2c7a
103776
text/plain
politarczyk_phd.pdf.txt