D-optymalne chemiczne układy wagowe przy różnych postaciach macierzy kowariancji błędów losowych - Smaga, Łukasz (My University, 2013)
W pracy zaprezentowano wyniki dotyczące D-optymalnych chemicznych układów wagowych przy trzech postaciach macierzy kowariancji błędów losowych, które w ogólności są różne od macierzy jednostkowej. W przypadku diagonalnej macierzy kowariancji błędów udowodniono górne oszacowanie wyznacznika macierzy informacji estymatorów parametrów w modelach układów wagowych o macierzach, których wiersze zawierają co najwyżej q elementów niezerowych. Układy wagowe spełniające równość w podanej nierówności są D-optymalne i nazwano je D*-optymalnymi. Dalej wykazano warunek konieczny i dostateczny na to, aby układ był D*-optymalny. Następnie przedstawiono przykłady i konstrukcje układów D*-optymalnych. Ponadto pokazano D-optymalność pewnych układów wagowych w przypadkach, gdy układy D*-optymalne nie istnieją. Gdy macierz kowariancji błędów jest kompletnie symetryczna wykazano podobne wyniki jak opisane powyżej w klasie układów, których macierze mają kolumny zawierające co najwyżej d elementów niezerowych. Przy macierzy kowariancji procesu AR(1) została udowodniona D-optymalność skonstruowanych układów wagowych oraz obciążonych układów wagowych dla trzech obiektów. Pokazano także warunki konieczne i dostateczne na to, aby układ wagowy dla trzech obiektów był D-optymalny.

The work presents the results of the D-optimal chemical balance weighing designs with three forms of the covariance matrix of random errors, which in general are different from the identity matrix. In the case of diagonal covariance matrix of errors, the upper bound of the determinant of information matrix of estimators of the parameters in model of weighing design with matrices, whose rows contain at most q non-zero elements, is proved. Weighing designs, which satisfy equality in given inequality, are D-optimal and they are called D*-optimal. Further, the necessary and sufficient condition under which the design is D*-optimal is given. Next, some examples and constructions of D*-optimal designs are presented. Furthermore, D-optimality of some designs is shown in cases, where D*-optimal designs do not exist. When the covariance matrix of errors is completely symmetric, similar results as described above are proved in the class of designs, whose matrices have the columns containing at most d non-zero elements. In the case of covariance matrix of the AR(1) process, D-optimality of constructed weighing designs and biased weighing designs for three objects is proved. The necessary and sufficient conditions under which the design for three objects is D-optimal are also shown.
D-optimal chemical balance weighing designs with various forms of the covariance matrix of random errors
Wydział Matematyki i Informatyki
Keywords: Chemiczne układy wagowe; Chemical balance weighing designs; D-optymalność; D-optimality; Macierz diagonalna; Diagonal matrix; Macierz kompletnie symetryczna; Completely symmetric matrix; Macierz kowariancji procesu AR(1); Covariance matrix of AR(1) process