Krata rozszerzeń logiki relewantnej E - Typańska, Lidia (My University, 2018)
Rozprawa poświęcona jest logice E – jednej z najważniejszych logik relewantnych. Skupiono się na podstawowym dla krat problemie wyznaczania koatomów w kracie: tu - kracie rozszerzeń logiki E. Zamiast kraty rozszerzeń logiki E badano izomorficzną z nią kratę podrozmaitości V_E, generującą logikę E. W pierwszym rozdziale opisano intuicje, aksjomatyzacje i podstawowe fakty dotyczące syntaktyki logiki E. W drugim rozdziale przedstawiona została semantyka algebraiczna i matrycowa logiki E. Zdefiniowano pojęcie E-algebry oraz podany został dowód twierdzenia o pełności względem E-algebr. Zdefiniowano pojęcie E-matrycy i opisano rolę zbioru elementów wyróżnionych w definiowaniu kongruencji. Zaprezentowano ważne, dla zrozumienia E-algebr, przykłady i kontrprzykłady. Pierwszy głównych wynik istnieją dwa nieskończone ciągi skończonych prostych E-algebr, to znaczy istnieje nieskończenie wiele logik rozszerzających logikę E, znajdujących się bezpośrednio pod logiką klasyczną. Kolejnym ważnym wynikiem jest twierdzenie mówiące, że istnieje continuum rozszerzeń logiki relewantnej E generowanych przez algebry nieskończone, znajdujące się bezpośrednio pod logiką klasyczną. Wszystkie powyższe wyniki zostały osiągnięte metodami algebraicznymi.

The thesis is devoted to the logic E - one of the most important relevance logics. The work concentrates on the basic problem of the structure of the lattice of extensions of the logic E – determining coatoms of this lattice. Instead of the extension of the logic E, the isomorphic lattice of the subvarieties of the variety V_E of algebras which generates the logic E is investigated. The first chapter presents the motivations, axiomatisations and the basic facts concerning the syntax of the logic E. The second chapter concerns algebraic and matrix semantics of E. In particular, a definition of E-algebra was presented and the completeness theorem with respect of E-algebras was proved. Moreover, the notion of E-matrices was defined and the importance of the set of the designated elements in defining congruences is described. The examples of various important E-algebras were presented. The first of the main result is the following: there exists two infinite sequences of finite simple E-algebras i.e. there exists infinitely many logics extending E which are placed immediately below the classical logic. The second main result: there exists continuum extensions of the relevant logic E generated by inifite algebras, which are placed immediately below the classical logic. The notions and the basic facts of universal algebra were the tools for obtaining these results.
The lattice of extensions the relevant logic E
Wydział Matematyki i Informatyki
Keywords: logiki relewantne; relevant logics; logiki nieklasyczne; non-classical logics; krata; lattice; algebra uniwersalna; universal algebra