Topologia dziedziny a rozkłady pewnych funkcji pierwszej klasy Baire’a na sumy i różnice funkcji o domkniętym wykresie - Sieg, Waldemar (My University, 2012)
W pierwszym rozdziale pracy podaję definicje i twierdzenia z których korzystam w jej dalszej części. Rozdział 2. poświęcony jest rodzinie funkcji rzeczywistych określonych na przestrzeni metrycznej, którą na użytek moich badań oznaczyłem symbolem. W podrozdziale 2.2 dowodzę, że dowolną funkcję z klasy można przedstawić w postaci sumy dwóch funkcji quasi-ciągłych o domkniętym wykresie. W rozdziale 3. zajmuję się rozszerzeniem funkcji o domkniętym wykresie. W podrozdziale 3.1 podaję wzór na rozszerzenie funkcji o domkniętym wykresie, określonej na zerowym podzbiorze przestrzeni normalnej na całą tę przestrzeń. Wynik ten stosuję do nowej charakteryzacji P-przestrzeni: w podrozdziale 3.3 wykazałem, że jeżeli jest przestrzenią doskonale normalną, to rodziny funkcji i są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy jest P-przestrzenią. Kolejny rozdział poświęcony jest specjalnej podklasie klasy, funkcji kawałkami ciągłych określonych na przestrzeni normalnej. W podrozdziale 4.2 pokazuję, że dowolne odwzorowanie z klasy można przedstawić w postaci różnicy dwóch nieujemnych funkcji o domkniętym wykresie. W podrozdziale 4.3 podaję wzór określający liniowy operator rozszerzania odwzorowania z do , gdzie jest domkniętym i typu podzbiorem przestrzeni normalnej. Rozdział 5. mojej pracy poświęcony jest badaniu klas maksymalnych dla rodziny funkcji quasi-ciągłych o domkniętym wykresie.

In the first chapter of my work, I give definitions and theorems which I use in its farthest part. Second chapter is devoted to a family of real functions defined on a metric space, which is denoted by. In subsection 2.2, I prove that if is a metric space then every function can be decomposed into a sum of two quasicontinuous functions with a closed graph. In chapter 3, I study extensions of closed graph functions. In subsection 3.1, I give a formula of an extension of a closed graph function defined on a zero-subset of normal space, to whole space. I use this result for a new characterization of P-spaces. In subsection 3.3, I prove that if is a perfectly normal space, then the families of functions, and are equal, if and only if is a P-space. The next chapter is devoted to a special subclass of - piecewise continuous functions defined on a normal space. On my application of research I mean it by. In subsection 4.2, I prove that every map from can be decomposed into a difference of two nonnegative functions with a closed graph. In subsection 4.3, I give a formula of a linear extension operator from to, where is a closed and of type subset of a normal space. The fifth chapter of my work is devoted to the study of maximal (additive, multiplicative, maximum and minimum) classes for families of quasicontinuous functions with a closed graph.
Domain topology and its influence on decomposing some first class functions on sums and differences of functions with closed graph
Matematyki i Informatyki
Keywords: Funkcje rzeczywiste; Real functions; Topologia; Topology; Przedłużanie funkcji; Extension of functions; P-przestrzenie; P-spaces; Klasy maksymalne; Maximal classes