Tematy dotyczące robotyki topologicznej: o złożoności topologicznej przestrzeni Eilenberga-MacLane’a i efektywnej złożoności topologicznej - Espinosa Baro, Arturo (My University, 2025)
W przedstawionej rozprawie doktorskiej omawiany kilka dotyczących relacji pomiędzy złożonością topologiczną, kategorią sekcyjną i grupami. Merytorycznie treść pracy podzielona jest na dwa główne nurty tematyczne. W pierwszej części dysertacji, badamy zagadnienia związane z opisem złożoności topologicznej, oznaczanej przez TC, przestrzeni Eilenberga-MacLane’a. Po pierwsze wprowadzamy pojęcie kategorii sekcyjnej monomorfizmów grup jako ogólne narzędzie do badań, które pozwala też opisać postawiony pierwotnie problem. Następnie uzyskujemy uogólnienie charakteryzacji Farbera, Grant, Luptona i Oprei TC grupy w terminach odwzorowań współzmienniczych do przestrzeni klasyfikujących pełne rodziny podgrup. Używając wprowadzonych pojęć określamy kanoniczną relatywną klasę i badamy jej własności. Dodatkowo pokazujemy, że do badania secat(H -> G) można wykorzystać pojęcie kohomologii Adamsona. Kolejno, uogólniamy określenie pojęcia istotnych klas kohomologii do przypadku dowolnych monomorfizmów grup, i konstruujemy bardziej ogólną wersję ciągu spektralnego Farbera-Meschera. To ostatnie pozwala uzyskać nowe ograniczenie na secat(H -> G), które wykorzystujemy aby otrzymać nowe ograniczenie dolne na ciągową i włóknistą złożoność topologiczną. Na koniec tej części podajemy charakteryzację TC grupy G w terminach A-genusu w sensie Clapp i Puppe. W drugiej części przedstawiamy pewne własności efektywnej topologicznej złożoności w sensie Błaszczyka i Kaluby dla przestrzeni z działaniem grupy. Po pierwsze wprowadzamy pojęcie efektywnej LS-kategorii, a następnie opisujemy związki pomiędzy efektywną złożonością topologiczną, kategorią i odwzorowaniem rzutowania na przestrzeń orbit w wybranych przypadkach podając obliczenia i przykłady. Na zakończenie podajemy warunki kohomologiczne pozwalające określić w jakich przypadkach efektywna złożoność topologiczna jest niezerowa w wymiarze dwa. In this dissertation we work on several problems concerning the relationship between topological complexity and sectional category, and groups. The work presented here can be divided in two main branches. In the first part of the thesis, we investigate topics related with the description of the topological complexity of Eilenberg-MacLane spaces. First we develop the notion of sectional category of group monomorphisms, as a more general framework of study and which contains the original problem, and we provide a generalization of a characterization from Farber, Grant, Lupton and Oprea of TC of a group in terms equivariant maps to the classifying space of full families of subgroups. We also develop a relative canonical class in this setting, and study its properties. Additionally, we introduce the notion of Adamson cohomology theory into the study of secat(H ->G). We will proceed as well to generalize the notion of essential cohomology classes to arbitrary group monomorphisms, and to build a more general version of the Farber-Mescher spectral sequence in order to get a new bound for secat(H -> G), which we will specialize to obtain new lower bounds of sequential and fiberwise TC. To finish this first part, we provide a characterization of TC of a group G in terms of the A-genus in the sense of Clapp and Puppe. In the second part, we switch our point of view, and consider, instead of K(G,1)-spaces, actions of groups over spaces, and so we investigate some properties of the effective topological complexity of Błaszczyk and Kaluba. First we develop a notion of effective LS-category, and then we observe the relationship between the effective TC and cat and the orbit map with respect to the action in some situations, giving several computations and examples. We will finish by providing cohomological arguments to determine cases in which such effective TC is non-zero in dimension two.
Topics on Topological robotics: On topological complexity of Eilenberg-MacLane spaces and effective topological complexity
Wydział Matematyki i Informatyki
Keywords: złożoność topologiczna; kategoria sekcyjna; przestrzeń Eilenberga-MacLane’a; Topological complexity; sectional category; Eilenberg-MacLane spaces