Gajda, Wojciech Jerzy. PromotorNaskręcki, Bartosz. PromotorGarnek, Jędrzej2020-07-172020-07-172020http://hdl.handle.net/10593/25705Wydział Matematyki i Informatyki UAMCelem tej pracy jest przedstawienie wyników dotyczących trzech problemów związanych z rozmaitościami abelowymi nad ciałami p-adycznymi. W pierwszej części rozprawy badamy arytmetyczną złożoność p-torsji rozmaitości abelowej nad ciałem liczb p-adycznych. Jest to związane z otwartym problemem, postawionym przez David i Westona w 2008 r. W pracy wskazujemy na związek tego problemu z pojęciem kanonicznego podniesienia rozmaitości abelowej. Próbujemy również zweryfikować hipotezę David i Westona dla krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym, co prowadzi do poszukiwania liczb pierwszych w ciągach zadanych rekurencyjnie. W następnej części pracy badamy ekwiwariantne zachowanie ciągu Hodge'a-de Rhama dla krzywej z działaniem grupy skończonej w dodatniej charakterystyce. Pokazujemy między innymi, że jeżeli ciąg Hodge'a-de Rhama tej krzywej rozszczepia się, to działanie to musi być słabo rozgałęzione. Omawiamy również twierdzenia odwrotne oraz wskazujemy na powiązanie tego problemu z podnoszeniem nakryć do pierścienia wektorów Witta długości 2. Pozwala nam to na wskazanie nowych przykładów rozmaitości abelowych bez kanonicznych podniesień. W ostatniej części pracy dowodzimy dolnego oszacowania na liczbę klas ciała podziału. Oszacowanie to zależy od rangi grupy Mordella-Weila rozmaitości abelowej oraz redukcji punktów p-torsyjnych.In the thesis we study three problems related to arithmetic of abelian varieties over p-adic fields. The first part of the thesis studies the arithmetic complexity of p-torsion of an abelian variety over the field of p-adic numbers. This is connected to an unproven conjecture of David and Weston from 2008. We establish a relation between this problem and the notion of the canonical lift of an abelian variety. We also try to verify this conjecture for elliptic curves with complex multiplication, which leads to looking for primes in some recurrence sequences. In the next part of the thesis we investigate the equivariant behaviour of the Hodge-de Rham exact sequence of a curve with an action of a finite group in positive characteristic. We show that if its Hodge-de Rham sequence splits equivariantly then the group action is weakly ramified. We also discuss converse statements and link this problem to lifting coverings of curves to the ring of Witt vectors of length 2. This allows us to exhibit new examples of abelian varieties without canonical lifts. In the last part of the thesis we prove a lower bound on the class numbers of the division fields. This lower bound depends on the Mordell-Weil rank of A and the reduction of p-torsion points modulo primes above p.enginfo:eu-repo/semantics/openAccessrozmaitości abeloweciała p-adycznekohomologia de Rhamaliczby klasabelian varietiesp-adic fieldsde Rham cohomologyclass numbersDysertacja