Homologie Khovanova splotów symetrycznych - Politarczyk, Wojciech (My University, 2015)
Rozprawa ta prezentuje konstrukcję wariantu homologii Khovanova dla tzw. splotów periodycznych, czyli splotów posiadających pewną symetrię. Ta wersja homologii Khovanova uwzględnia symetrie splotów. Przy pomocy metod algebry homologicznej, takich jak funktory pochodne i ciągi spektralne, oraz teorii całkowitoliczbowych reprezentacji grup cyklicznych podajemy konstrukcję i opisujemy podstawowe własności ekwiwariantnych homologii Khovanova. Dodatkowo, konstruujemy ciąg spektralny, który pozwala wyliczać ekwiwariantne homologie Khovanova. Ciąg ten jest adaptacją motkowego ciągu dokładnego. W dalszej części wyliczany wymierne ekwiwariantne homologie Khovanova splotów torusowych T(n,2). Oprócz tego, rozważamy ekwiwariantne odpowiedniki wielomianu Jonesa. Pokazujemy, że spełniają one odpowiednik relacji motkowej dla klasycznego wielomianu Jonesa i używamy tej własności do wzmocnienia kryterium periodyczności splotu podanego przez J.H. Przytyckiego. Dodatkowo, wyprowadzamy sumę statystyczną dla ekwiwariantnych odpowiedników wielomianu Jonesa. Konsekwencją tego faktu jest klasyczna kongruencja podana przez K. Murasugiego.

This thesis presents a construction of a variant of the Khovanov homology for periodic links, i.e, links with certain kind of symmetry. This version takes into account symmetries of links. We use elements of homological algebra, like derived functors and spectral sequences, and integral representation theory of finite cyclic groups to construct and describe properties of the equivariant Khovanov homology. Further, we develop a spectral sequence for computing the equivariant Khovanov homology. We use this spectral sequence to compute the rational equivariant Khovanov homology of torus links T(n,2). Apart from that, we also study properties of the equivariant analogues of the Jones polynomial. We show that they satisfy certain version of the skein relation and use it to generalize a result of J.H.~Przytycki, which is a criterion for periodicity of a link in terms of its Jones polynomial. Additionally, we develop a state sum formula for the equivariant analogues of the Jones polynomial, which enables us to reprove the classical congruence of K. Murasugi.
Khovanov Homology of Symmetric Links
Wydział Matematyki i Informatyki: Zakład Geometrii i Topologii
Keywords: periodyczne węzły; periodic knots; periodyczne sploty; periodic links; homologie Khovanova; Khovanov homology; wielomian Jonesa; Jones polynomial