Aproksymacja macierzy kowariancji wybranymi strukturami w modelach podwójnie wielowymiarowych - Mokrzycka, Monika (My University, 2021)
Przedmiotem badań niniejszej rozprawy jest aproksymacja rozbieżności między dwoma rozkładami prawdopodobieństwa o różnych macierzach kowariancji, wyrażonej za pomocą entropijnej lub kwadratowej funkcji straty. Rozważane są modele podwójnie wielowymiarowe pozwalające na analizę danych, w których występują dwa źródła zmienności, na przykład, gdy kilka cech obserwowanych jest wielokrotnie w czasie. Naturalną strukturą zależności jest wówczas iloczyn Kroneckera dwóch macierzy symetrycznych, określonych dodatnio. W pracy rozważa się również przypadki, gdy jeden z czynników ma dodatkowo strukturę macierzy kompletnej symetrii lub procesu autoregresji pierwszego rzędu. Algorytmy wyznaczania minimum odpowiedniej funkcji rozbieżności zastosowane zostały w badaniach symulacyjnych do identyfikacji struktury kowariancyjnej, do zaproponowania estymatorów struktur kowariancyjnych i zbadania ich własności statystycznych oraz w kontekście badania mocy testów, do pomiaru rozbieżności między zbiorami struktur kowariancyjnych rozważanych w procesie testowania hipotez. Wyniki algebraiczne zostały zinterpretowane na danych rzeczywistych.

The Ph.D. dissertation is dedicated to approximation of the discrepancy between two probability distributions with different covariance matrices, expressed by the entropy or quadratic loss function. Doubly multivariate models that allow for the analysis of data with two sources of variability, for example, when several characteristics are observed repeatedly in time, are considered. The natural dependency structure is then Kronecker product of two symmetric positive definite matrices. The study also considers cases, where one component has additional structure of a compound symmetry matrix or a first-order autoregression process. The algorithms for determination of the minimum of the respective discrepancy function are applied in simulation studies to identify the covariance structure, to propose estimators of covariance structures and to study their statistical properties, as well as in the research on the power of the tests, to measure the discrepancy between sets of covariance structures under consideration. Algebraic results are interpreted on real data.
Approximation of the covariance matrix by selected structures under doubly multivariate data
Wydział Matematyki i Informatyki
Keywords: model podwójnie wielowymiarowy; doubly multivariate model; struktura kowariancyjna; covariance structure; funkcja straty; loss function; aproksymacja; approximation; algorytmy iteracyjne; terative algorithms