Klasyczne operatory na przestrzeni funkcji analitycznych zmiennej rzeczywistej - Golińska, Anna (My University, 2020)
Celem rozprawy jest zbadanie trzech klas operatorów na przestrzeni funkcji analitycznych zmiennej rzeczywistej: operatorów mnożnikowych Hadamarda, operatorów Hankela i operatorów Toeplitza. Badając operatory mnożnikowe Hadamarda skupimy się na problemie generowania silnie ciągłej półgrupy przez te operatory. W oparciu o rozwiniętą przez P. Domańskiego i M. Langenbrucha, podajemy twierdzenie o generatorach silnie ciągłej półgrupy dla mnożników Hadamarda stosujemy je do klasycznych przykładów mnożników. Następnie badamy operatory Hankela. Podajemy reprezentację całkową operatorów Hankela i dowodzimy, że przestrzeń operatorów Hankela jest izomorficzna z przestrzenią funkcji całkowitych. Ponadto badamy spektrum oraz inne własności operatorów Hankela. Ostatnim tematem roprawy sa operatory Toeplitza na przestrzeni funkcji analitycznych zmiennej rzeczywistej. Podajemy pełną klasyfikację lewostronnie odwracalnych operatorów Toeplitza, co wraz z wynikiem M. Jasiczaka dotyczącym prawostronnie odwracalnych operatorów Toeplitza, rozwiązuje problem jednostronnej odwracalności operatorów Toeplitza. Ponadto podajemy opis skończenie wymiarowych komutatorów operatorów Toeplitza.

The aim of this thesis is to investigate three classes of operators on the space of real analytic functions: Hadamard multiplier operators, Hankel operators and Toeplitz operators. The study of the Hadamard multipliers concentrates on the problem of generating strongly continuous semigroup by these operators. Based on the theory developed by P. Domański and M. Langenbruch, we give a generation theorem for Hadamard multipliers on the space and apply it to the classical examples of multipliers. Next, we study the Hankel operators. We give the integral representation of these operators and prove that the space of Hankel operators is isomorphic to the space of entire functions. We also investigate the spectra and other properties of Hankel operators. Finally, we study Toeplitz operators acting on the space of real analytic functions. We give a characterization of left-sided invertible Toeplitz operators, which together with the result of M. Jasiczak on right-side invertibility solves completely the problem of one-sided invertibility of Toeplitz operators. The other result which we provide is the characterization of finite rank commutators of Toeplitz operators.
The classical operators on the space of real analytic functions
Wydział Matematyki i Informatyki
Keywords: przestrzeń funkcji analitycznych zmiennej rzeczywistej; space of real analytic functions; operatory Hankela; Hankel operators; operatory Toeplitza; Toeplitz operators; operatory mnożnikowe Hadamarda; Hadamard multiplier operators