Działania grup na rozmaitościach acyklicznych i rzeczywistych przestrzeniach rzutowych - Pulikowski, Jan (My University, 2025)
Do ważnych problemów dotyczących działań zwartych grupy Liego G na rozmaitościach gładkich należy opis pojawiających się zbiorów punktów stałych. Taki zbiór jest rozmaitością gładką, o ile działanie grupy G jest gładkie. Można więc zadać pytanie, jakie warunki są konieczne i wystarczające na to, by rozmaitość gładka była dyfeomorficzna ze zbiorem punktów stałych działania gładkiego grupy G na rozmaitości o specyficznych własnościach, np., na rozmaitości ściągalnej, jak dysk czy tez przestrzeń euklidesowa. W tym przypadku odpowiedzi na zadane pytanie udzielił Lowell Jones (gdy G jest p-grupa skończona), Krzysztof Pawałowski (gdy G jest torusem lub G jest rozszerzeniem p-grupy skończonej o torus) i Robert Oliver (gdy G jest grupa skończona, której rzad nie jest potęga liczby pierwszej). W rozprawie rozważa się działania gładkie grupy G na rozmaitościach gładkich, które są pseudo-równoważne z danym G-szablonem (tj. skończonym G-CW kompleksem spójnym o niepustym i spójnym zbiorze punktów stałych). Wyniki autorów wspomnianych powyżej dotyczą działań grup na rozmaitościach ściągalnych, tj. pseudo-równoważnych z jednym punktem. W rozprawie wyniki te rozszerzone są do działań grup G na rozmaitościach pseudo-równoważnych z G-szablonem mod-p acyklicznym (Twierdzenie 0.1) i acyklicznym (Twierdzenie 0.2). Przy dodatkowym założeniu, ze zbiory punków stałych są rozmaitościami stabilnie paralelizowalnymi, ich opis jest podany bez żadnego ograniczenia na G-szablon (Twierdzenie 0.3). Podano tez warunek konieczny i wystarczający na istnienie działania gładkiego grupy skończonej G (której rzad nie jest potęgą liczby pierwszej) bez punktów stałych na zwartej rozmaitości gładkiej pseudo-równoważnej z dowolnie zadanym G-szablonem (Twierdzenie 0.4). W szczególności, istnieje działanie gładkie skończonej grupy G bez punktów stałych na zwartej rozmaitości gładkiej pseudo-równoważnej z rzeczywista przestrzenią rzutowa parzysto-wymiarowa z trywialnym działaniem grupy G, wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupa Olivera. Wykazano też, ze każda skończona grupa Olivera posiada działanie gładkie bez punktów stałych na pewnej rzeczywistej przestrzeni rzutowej parzysto-wymiarowej (Twierdzenie 0.5). Among important problems concerning actions of compact Lie groups G on smooth manifolds is the description of the occurring fixed point sets. Such a set is a smooth manifold, assuming the action of the group G is smooth. Therefore, one may ask what are the necessary and sufficient conditions for a smooth manifold to be diffeomorphic to the fixed point set of a smooth action of G on a smooth manifold with specific properties, e.g, on a contractible manifold (such as a disk or Euclidean space). In the case of actions on contractible manifolds, the answer to the posed question goes back to Lowell Jones (when G is a finite p-group), Krzysztof Pawałowski (when G is a torus or G is an extension of a finite p-group by a torus) and Robert Oliver (when G is a finite group not of prime power order). In this thesis, one considers smooth actions of a group G on smooth manifolds which are pseudo-equivalent to a given G-template (i.e., a finite connected G-CW complex with non-empty and connected fixed point set). The results of authors mentioned above concern group actions on contractible manifolds, i.e., pseudo-equivalent to one point. In this thesis, the results are extended to actions of groups G on manifolds pseudo-equivalent to a mod-p acyclic G-template (Theorem 0.1) and an acyclic G-template (Theorem 0.2). Under the additional assumption that the fixed point sets in question are stably parallelizable, the description of the fixed point sets is obtained without any additional restriction on the G-template. Moreover, a necessary and sufficient condition is given for the existence of a smooth fixed point free action of a finite group G (not of prime power order) on a compact smooth manifold pseudo-equivalent to any given G-template (Theorem 0.4). In particular, the result shows that there exists a smooth fixed point free action of a finite group G on a compact smooth manifold pseudo-equivalent to an even-dimensional real projective space with the trivial action of G, if and only if G is an Oliver group. Finally, it is proven that each finite Oliver group G has a smooth fixed point free action on some even-dimensional real projective space (Theorem 0.5).
Group Actions on Acyclic Manifolds and Real Projective Spaces
Wydział Matematyki i Informatyki