Mnożniki punktowe i ich własności - Tomaszewski, Jakub (My University, 2023)
Celem tej rozprawy jest opis przestrzeni mnożników punktowych działających pomiędzy pewnymi klasami krat Banacha oraz sformułowanie pewnych warunków gwarantujących słabą zwartość operatorów mnożenia punktowego. Głównym wynikiem pierwszej części pracy jest pełen opis przestrzeni mnożników punktowych pomiędzy dwoma różnymi przestrzeniami Orlicza. Rozwiązujemy tym samym problem postawiony przez O'Neila w roku 1965. Ponadto otrzymujemy równoważny warunek na faktoryzację dwóch przestrzeni Orlicza. Drugi rozdział poświęcamy na uogólnienie powyższego wyniku na przestrzenie Musielaka-Orlicza oraz Calderóna-Łozanowskiego. Dowodzimy, że przestrzeń mnożników punktowych pomiędzy różnymi przestrzeniami Musielaka-Orlicza jest kolejną przestrzenią z tej klasy, generowaną przez uogólnioną funkcję dopełniająca. Uzyskujemy także analogiczny opis w przypadku pary przestrzeni Calderóna-Łozanowskiego. W ostatnim rozdziale badamy słabą zwartość w funkcyjnych kratach Banacha. Najważniejszym wynikiem tego rozdziału jest twierdzenie mówiące, że funkcyjna krata Banacha X jest 1-rozłącznie jednorodna wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia kryterium Dunfforda-Pettisa, czyli zbiory relatywnie słabo zwarte pokrywają się z X-jednostajnie całkowalnymi. Podajemy także nowe przykłady krat 1-rozłącznie jednorodnych. Uzyskane wyniki pozwalają nam podać charakteryzacje słabo zwartych mnożników. The aim of this dissertation is to describe the space of pointwise multipliers acting between certain classes of Banach lattices and to formulate conditions implying weak compactness of pointwise multiplication operators. The main result of the first part is a complete description of the space of pointwise multipliers between two distinct Orlicz spaces. We thus solve the problem posed by O'Neil in 1965. Moreover, we obtain an equivalent condition for the factorization of two Orlicz spaces. The second chapter is devoted to the generalization of the above result to Musielak-Orlicz and Calderón-Łozanowski spaces. We prove that the space of pointwise multipliers between different Musielak-Orlicz spaces is another space of this class, generated by a generalized complemented function. We also obtain an analogous description in the case of a pair of Calderón- Łozanowski spaces. In the last chapter we study weak compactness in function Banach lattices. The main result of this chapter is the theorem stating that a function Banach lattice X is 1-disjointly homogeneous if and only if it satisfies the Dunfford-Pettis criterion, i.e. the relatively weakly compact sets coincide with the X-uniformly integrable sets. We also give new examples of a 1-disjointly homogeneous lattices. The obtained results allow us to characterize weakly compact multipliers.
Pointwise multipliers and their properties
Wydział Matematyki i Informatyki
Keywords: analiza funkcjonalna; mnożniki punktowe; kraty Banacha; słaba zwartość; functional analysis; pointwise multipliers; Banach lattices; weak compactness