Grzybowski, Jerzy. PromotorKolassa, Robert2024-03-132024-03-132024https://hdl.handle.net/10593/27667Wydział Matematyki i InformatykiW rozprawie przedstawiono nowe podejście do znajdowania minimalnej reprezentacji różnic funkcji wypukłych (dc-funkcji) w sensie Zalgallera. Zastosowano wyniki badań Palaschke i Urbańskiego nad minimalnymi quasiróżniczkami Demyanova i Rubinova. W szczególności wprowadzono pojęcie maksymalnej pary zbiorów wypukłych ze wspólnym stożkiem recesji oraz powiązano takie pary z minimalnymi reprezentacjami danych dc-funkcji. W tym celu zastosowano dualność Minkowskiego. Ponadto zbadano własności dodawania i odejmowania Minkowskiego w rodzinie wypukłych zbiorów domkniętych o wspólnym stożku recesji. W rezultacie przedstawiono algorytm znajdowania maksymalnej pary równoważnej danej parze. Rozpatrywana jest również minimalna reprezentacja dc-funkcji, która jest zawężeniem różnicy funkcji podliniowych (ds-funkcji) do zwartego zbioru wypukłego. Wprowadzono pojęcie pary L-minimalnej, gdzie L jest zwartym zbiorem wypukłym. Pokazano, że minimalna reprezentacja w sensie Zalgallera zawężonej ds-funkcji odpowiada L-minimalnej parze zwartych zbiorów wypukłych. Udowodniono istnienie i jednoznaczność pary L-minimalnej równoważnej danej parze. Zaprezentowane w rozprawie nowe podejście może być pomocne w udzieleniu odpowiedzi na pytania postawione przez Zalgallera. The thesis presents a new approach to finding the minimal representation of the difference of convex functions (dc-functions) in the sense of Zalgaller. The results of research by Palaschke and Urbański on minimal quasidifferentials of Demyanov and Rubinov are applied. In particular, the notion of a maximal pair of convex sets with a common recession cone is introduced and related to a minimal representation of a given dc-function. Minkowski duality is applied for this purpose. Moreover, the properties of the Minkowski addition and subtraction in a family of closed convex sets with a common recession cone are investigated. As a result, an algorithm for finding the maximum pair equivalent to a given pair is presented. The minimal representation of a dc-function, which is a restriction of the difference of sublinear functions (ds-functions) to a convex compact set, is also examined. The concept of an L-minimal pair is introduced, where L is a convex compact set. It is showed that the minimal representation in the sense of Zalgaller of the restricted ds-function corresponds to the L-minimal pair of compact convex sets. The existence and uniqueness of an L-minimal pair equivalent to a given pair is proved. The new approach presented in the dissertation may be helpful in answering the questions posed by Zalgaller.plminimalna reprezentacja dc-funkcjisuma i różnica Minkowskiegostożek recesjiminimalna para zbiorów wypukłychminimal representation of a dc-functionMinkowski addition and subtractionrecession coneminimal pair of convex setsinfo:eu-repo/semantics/doctoralThesis