Zastosowanie zbiorów wypukłych do minimalnej reprezentacji różnic funkcji wypukłych w sensie Zalgallera - Kolassa, Robert (My University, 2024)
W rozprawie przedstawiono nowe podejście do znajdowania minimalnej reprezentacji różnic funkcji wypukłych (dc-funkcji) w sensie Zalgallera. Zastosowano wyniki badań Palaschke i Urbańskiego nad minimalnymi quasiróżniczkami Demyanova i Rubinova. W szczególności wprowadzono pojęcie maksymalnej pary zbiorów wypukłych ze wspólnym stożkiem recesji oraz powiązano takie pary z minimalnymi reprezentacjami danych dc-funkcji. W tym celu zastosowano dualność Minkowskiego. Ponadto zbadano własności dodawania i odejmowania Minkowskiego w rodzinie wypukłych zbiorów domkniętych o wspólnym stożku recesji. W rezultacie przedstawiono algorytm znajdowania maksymalnej pary równoważnej danej parze. Rozpatrywana jest również minimalna reprezentacja dc-funkcji, która jest zawężeniem różnicy funkcji podliniowych (ds-funkcji) do zwartego zbioru wypukłego. Wprowadzono pojęcie pary L-minimalnej, gdzie L jest zwartym zbiorem wypukłym. Pokazano, że minimalna reprezentacja w sensie Zalgallera zawężonej ds-funkcji odpowiada L-minimalnej parze zwartych zbiorów wypukłych. Udowodniono istnienie i jednoznaczność pary L-minimalnej równoważnej danej parze. Zaprezentowane w rozprawie nowe podejście może być pomocne w udzieleniu odpowiedzi na pytania postawione przez Zalgallera. The thesis presents a new approach to finding the minimal representation of the difference of convex functions (dc-functions) in the sense of Zalgaller. The results of research by Palaschke and Urbański on minimal quasidifferentials of Demyanov and Rubinov are applied. In particular, the notion of a maximal pair of convex sets with a common recession cone is introduced and related to a minimal representation of a given dc-function. Minkowski duality is applied for this purpose. Moreover, the properties of the Minkowski addition and subtraction in a family of closed convex sets with a common recession cone are investigated. As a result, an algorithm for finding the maximum pair equivalent to a given pair is presented. The minimal representation of a dc-function, which is a restriction of the difference of sublinear functions (ds-functions) to a convex compact set, is also examined. The concept of an L-minimal pair is introduced, where L is a convex compact set. It is showed that the minimal representation in the sense of Zalgaller of the restricted ds-function corresponds to the L-minimal pair of compact convex sets. The existence and uniqueness of an L-minimal pair equivalent to a given pair is proved. The new approach presented in the dissertation may be helpful in answering the questions posed by Zalgaller.
Application of pairs of convex sets to minimal representations of differences of convex functions in the sense of Zalgaller
Wydział Matematyki i Informatyki
Keywords: minimalna reprezentacja dc-funkcji; suma i różnica Minkowskiego; stożek recesji; minimalna para zbiorów wypukłych; minimal representation of a dc-function; Minkowski addition and subtraction; recession cone; minimal pair of convex sets