Detektory Arakiego-Haaga, teoria Mourre’a i problem asymptotycznej zupełności w algebraicznej teorii pól kwantowych

Abstract

Teoria rozpraszania opisuje asymptotyczną ewolucję układów oddziałujących cząstek. Kluczowym pojęciem w tej dziedzinie jest asymptotyczna zupełność, która jest dobrze zrozumiana w nierelatywistycznej mechanice kwantowej. Pozostaje ona otwartym i trudnym problemem w lokalnej relatywistycznej teorii pól kwantowych (QFT). Współczesne dowody asymptotycznej zupełności w mechanice kwantowej opierają się na oszacowaniu Mourre’a, oszacowaniach propagacyjnych oraz zbieżności obserwabli asymptotycznych, takich jak asymptotyczna prędkość. W QFT detektory Arakiego-Haaga stanowią naturalne obserwable asymptotyczne. Ich zbieżność jest warunkiem koniecznym dla asymptotycznej zupełności w QFT. W tej pracy dowodzimy zbieżności detektorów Arakiego Haaga na stanach o ograniczonej energii, które należą do absolutnie ciągłej części spektrum energii i pędu poniżej progu trójcząstkowego. Nasz dowód wykazuje podobieństwa do dowodów istnienia i zupełności operatorów falowych w mechanice kwantowej. W szczególności stosujemy metodę operatora sprzężonego Mourre’a do wyprowadzenia lokalnego oszacowania zaniku. Ponadto stosujemy metodę Mourre’a, aby wykazać regularność rezolwent (tzw. limiting absorption principle) dla operatorów energii i pędu w relatywistycznej QFT. W ten sposób odtworzyliśmy wyniki dotyczące własności spektralnych operatorów energii i pędu, takie jak brak osobliwego spektrum ciągłego.

Scattering theory describes the asymptotic evolution of systems of interacting particles. A key concept in this area is asymptotic completeness, which is well-understood in non relativistic quantum mechanics but remains a challenging problem in local relativistic quantum field theory (QFT). Modern proofs of asymptotic completeness in quantum mechanics rely on a Mourre estimate, propagation estimates, and the convergence of asymptotic observables. In QFT, Araki–Haag detectors are natural candidates for asymptotic observables. Controlling their convergence is an important prerequisite for asymptotic completeness in QFT. We prove the convergence of Araki–Haag detectors on states of bounded energy that belong to the absolutely continuous part of the energy-momentum spectrum below the three particle threshold. Our proof shares similarities with proofs of the existence and completeness of wave operators in quantum mechanics. Notably, we apply Mourre’s conjugate operator method to derive a local decay estimate. Moreover, we employ Mourre’s method to derive a limiting absorption principle for the energy-momentum operators in relativistic QFT. The limiting absorption principle allows us to reproduce results on spectral properties of the energy momentum operators.