Operatory kompozycji i miary Carlesona w teorii przestrzeni Hardy’ego-Orlicza na obszarach

Abstract

Celem niniejszej rozprawy jest badanie przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na obszarach wielospójnych płaszczyzny zespolonej oraz operatorów kompozycji działających miedzy tymi przestrzeniami. W pierwszej części pracy, rozszerzając koncepcje Rudina definiujemy przestrzenie Hardy’ego–Orlicza na tzw. obszarach kołowych. Celem jest przedstawienie pewnych izomorficznych i izometrycznych charakteryzacji tych przestrzeni. Pokazano miedzy innymi analogon twierdzenia Riesza–Fatou oraz twierdzenia o reprezentacji przestrzeni Hardy’ego–Orlicza w postaci pewnych sum prostych. Badane są także przestrzenie Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu - podano opis (w terminach współczynników Fouriera) domkniętej podprzestrzeni przestrzeni Orlicza na brzegu pierścienia, izomorficznej z przestrzenia Hardy’ego-Orlicza na pierścieniu. Ponadto badane są również pewne własności przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na obszarach kołowych, istotne przy badaniu operatora kompozycji działającego miedzy tymi przestrzeniami. Druga część rozprawy opisuje wyniki dotyczące powłok Banacha w przypadku przestrzeni Hardy’ego–Orlicza na pierścieniu A, generowanych przez funkcje Orlicza , dające się dobrze przybliżać (wklęsłymi) funkcjami potęgowymi. Stosując pewne izomorficzne reprezentacje wagowych przestrzeni Bergmana udowodniono analogon nierówności Hardy’ego–Littlewooda. Następnie rozszerzając pewne metody z pracy J. H. Shapiro otrzymano opis powłok Mackey’a za pomocą, którego wyznaczono opis przestrzeni dualnych do przestrzeni Hardy’ego-Orlicza na pierścieniu. W ostatniej części pracy badane są operatory kompozycji na przestrzeniach Hardy’ego–Orlicza na obszarach kołowych. Zasadniczy fragment rozważań dotyczy zwartości tegoż operatora. Przedstawione zostaną m.in. charakteryzacje zwartych operatorów kompozycji w terminach funkcji Nevanlinny oraz miar Carlesona, a także charakteryzacje porządkowo ograniczonych operatorów kompozycji. Podane zostaną również opisy słabo zwartych i zupełnie ciągłych operatorów kompozycji.

The aim of this dissertation is to investigate the properties of Hardy–Orlicz spaces on planar domains and composition operators acting on these spaces. In the first part of this thesis we extend the ideas of W. Rudin and define Hardy–Orlicz spaces on circular domains. The purpose is to show isomorphic and isometric characterizations of these spaces. For instance we show the variant of Fatou–Riesz theorem and we find direct sum representation. We also consider Hardy–Orlicz spaces on the annulus. Among others we describe the closed subspace of Orlicz space on the boundary of annulus which is isomorphic to Hardy–Orlicz space on annulus The second part of this dissertation is devoted to study Banach envelopes of Hardy–Orlicz spaces on the annulus. Using the techniques from Shapiro’s paper we present a description of Banach envelopes of these spaces in the case when the generating Orlicz function is well-estimated by power-type functions. As a consequence of this result we obtain a description of the dual of Hardy–Orlicz spaces on the annulus, The last part of the thesis concerns the study of composition operators on Hardy–Orlicz spaces on the circular domains. Our goal is to describe compact composition operators in terms of Nevanlinna counting function and Carleson measures. We also study weak compactness, order boundedness and Dunford–Pettis property of composition operators.