Regularyzacja i estymacja macierzy kowariancji o strukturze liniowej

Abstract

Niniejsza rozprawa poświęcona jest regularyzacji i estymacji macierzy kowariancji o strukturze liniowej, mających szerokie zastosowania w wielu dziedzinach nauki. Celem pracy jest zaproponowanie metody identyfikacji struktury liniowo ustrukturyzowanej macierzy kowariancji, a następnie dokonanie modyfikacji jej klasycznego estymatora za pomocą rzutowania ortogonalnego i strukturyzowanej metody kurczenia. Uzyskany w ten sposób estymator jest określony dodatnio oraz dobrze uwarunkowany. Ponadto, za pomocą badań symulacyjnych zweryfikowane zostały własności statystyczne proponowanego estymatora oraz dokonano porównania nowego estymatora z ustrukturyzowanym liniowo estymatorem największej wiarogodności. W pracy zaproponowane zostały dwa algorytmy: pierwszy służy do wyznaczania minimum odpowiedniej funkcji rozbieżności w zagadnieniu identyfikacji struktury kowariancji, natomiast drugi wykorzystywany jest do wyliczania estymatora macierzy kowariancji o strukturze liniowej za pomocą metody największej wiarogodności.

The doctoral dissertation is dedicated to the regularization and estimation of linearly structured covariance matrices, which have broad applications in various fields. The aim of the thesis is to propose a method of identification of the structure of linearly structured covariance matrix, followed by the modification of its classical estimator using orthogonal projection and structured shrinkage method. The resulting estimator is positive definite and well conditioned. Moreover, the statistical properties are examined through simulation studies and compared with the linearly structured maximum likelihood estimator. Two algorithms are presented in the thesis: one for determination of the minimum of the appropriate divergence function that is used to identify the structure of covariance, and the second to compute the estimate of linearly structured covariance matrix being positive definite and well conditioned using maximum likelihood method.