Rangi w rodzinach krzywych eliptycznych i formy modularne
Loading...
Date
2014-05-12
Authors
Advisor
Editor
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Title alternative
Ranks in families of elliptic curves and modular forms
Abstract
W rozprawie doktorskiej zostały przedstawione wyniki dotyczące obliczania rangi grupy Mordella-Weila w rodzinach krzywych eliptycznych i rezultaty dotyczące kongruencji między formami modularnymi. Na główne wyniki pracy składają się twierdzenia opisujące strukturę grupy Mordella-Weila krzywych eliptycznych zadanych równaniem Weierstrassa parametryzowanym za pomocą dwóch wielomianów. W pracy przebadano strukturę grupy punktów wymiernych w przypadku, gdy suma kwadratów parametryzujących wielomianów jest kwadratem trzeciego wielomianu. Zastosowaniem tych rezultatów jest opis rangi w rodzinach krzywych parametryzowanych przez formy kwadratowe binarne. W szczególności podano rezultaty odnoszące się do form kwadratowych posiadających parametryzacje wymierne. W części rozprawy poświęconej kongruencjom między formami modularnymi rozważana była klasa kongruencji pomiędzy nowymi formami własnymi i formami Eisensteina. Udowodniono twierdzenia dotyczące górnego ograniczenia na wykładnik badanych kongruencji. Przedstawiono wyniki numerycznych obliczeń dla dużego zakresu wag i poziomów. Ponadto sformułowane są twierdzenia klasyfikujące kongruencje w przypadku, gdy współczynniki Fouriera nowej formy własnej należą do zbioru liczb całkowitych.
In the Ph.D. thesis we present results on the computation of the Mordell-Weil group in families of elliptic curves and results about congruences between modular forms. The main points of the thesis are theorems which describe the structure of the Mordell-Weil group of elliptic curves with the Weierstrass equation parametrized by two polynomials. We investigate the structure of the group of rational points in the case when the sum of squares of those two parametrizing polynomials is a square of another polynomial. We apply these results to describe the rank in families of curves parametrized by binary quadratic forms. In particular, we deal with the case when the given quadratic forms have rational parametrizations. In the part of the thesis devoted to congruences between modular forms we investigate a class of congruences between newforms and Eisenstein forms. We prove theorems about the upper bound of the exponent of the studied congruences. We present the numerical data for a large set of weights and levels. Moreover, we formulate theorems that classify congruences in the case when the Fourier coefficients of the newform are rational integers.
In the Ph.D. thesis we present results on the computation of the Mordell-Weil group in families of elliptic curves and results about congruences between modular forms. The main points of the thesis are theorems which describe the structure of the Mordell-Weil group of elliptic curves with the Weierstrass equation parametrized by two polynomials. We investigate the structure of the group of rational points in the case when the sum of squares of those two parametrizing polynomials is a square of another polynomial. We apply these results to describe the rank in families of curves parametrized by binary quadratic forms. In particular, we deal with the case when the given quadratic forms have rational parametrizations. In the part of the thesis devoted to congruences between modular forms we investigate a class of congruences between newforms and Eisenstein forms. We prove theorems about the upper bound of the exponent of the studied congruences. We present the numerical data for a large set of weights and levels. Moreover, we formulate theorems that classify congruences in the case when the Fourier coefficients of the newform are rational integers.
Description
Wydział Matematyki i Informatyki
Sponsor
Keywords
krzywe eliptyczne, elliptic curves, formy modularne, modular forms, grupa Mordella-Weila, Mordell-Weil group, kongruencje form modularnych, congruences of modular forms, rangi w rodzinach krzywych eliptycznych, ranks in families of elliptic curves