Kwantowanie stochastyczne i aksjomaty Osterwaldera-Schradera dla modeli kwantowej teorii pola

Abstract

Celem tej pracy jest skonstruowanie euklidesowej kwantowej teorii pola $P(\Phi)_2$. Najpierw konstruujemy miarę na $\mathscr{D}'(\mathbb{S} _R)$ dla modelu $P(\Phi)_2$ w skończonej objętości, gdzie $\mathbb{S}_R$ jest 2 sferą o promieniu $R\in\mathbb{N}_+$. W tym celu opieramy się na oszacowaniu Nelsona dotyczącym półgrup hiperkontraktywnych. Następnie wykorzystujemy paraboliczne kwantowanie stochastyczne i metodę energetyczną aby za pomocą pull-backu $\jmath_R^*\,:\\mathscr{D}'(\mathbb{S}_R)\to\\mathscr{S}'(\mathbb{R}^2)$, zadanego przez rzut stereograficzny $\jmath_R$, uzyskać miarę w nieskończonej objętości, mianowicie na $\ \mathscr{S}'(\mathbb{R}^2)$. W tym celu sprawdzamy istnienie globalnych w czasie rozwiązań dla odpowiednich stochastycznych równań różniczkowych cząstkowych z ustalonymi obcięciami. Pozostała część pracy poświęcona jest weryfikacji aksjomatów Osterwaldera-Schradera: regularności, dodatniości względem odbicia oraz niezmienniczości względem przesunięć, obrotów i odbić. Takiej kombinacji aksjomatów, kluczowej dla uzyskania nietrywialnej lokalnej relatywistycznej kwantowej teorii pola na czasoprzestrzeni Minkowskiego, nie uzyskano we wcześniejszych konstrukcjach opartych na kwantowaniu stochastycznym.

The purpose of this thesis is to construct the $P(\Phi)_2$ Euclidean quantum field theory. We first construct the finite volume measure of the $P(\Phi)_2$ model on $\sD'(\bS_R)$, where $\mathbb{S}_R$ is a 2-sphere of the radius $R\in\mathbb{N}_+$. To this end, we rely on the Nelson hypercontractivity estimate. Then, we utilize the parabolic stochastic quantization and the energy method with the help of the pull-back map$\jmath_R^*\,:\\mathscr{D}'(\mathbb{S}_R)\to\\mathscr{S}'(\mathbb{R}^2)$, induced by the stereographic projection $\jmath_R$, to obtain the infinite volume measure on $\sS'(\bR^2)$. To this end, we verify the global existence in time of solutions for the corresponding stochastic partial differential equations with fixed cutoffs. The rest of the thesis is devoted to verifying the Osterwalder-Schrader axioms: regularity, reflection positivity and invariance under translations, rotations, and reflections. Such a combination of axioms, which is crucial for obtaining a non-trivial local relativistic QFT on a Minkowski space-time, was not obtained in earlier constructions based on the stochastic quantization.