Wykluczanie i konstruowanie egzotycznych działań grup na sferach
Loading...
Date
2021
Authors
Editor
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Title alternative
Excluding and constructing of exotic group actions on spheres
Abstract
Praca dotyczy egzotycznych gładkich działań grup skończonych na sferach z jednym, bądź dwoma punktami stałymi. Pierwszym tematem naszych badań jest wykluczanie gładkich działań grup skończonych na sferach z jednym punktem stałym. Podajemy strategię wykluczania działań z jednym punktem stałym na sferach o zadanym wymiarze. Strategia ta polega na wykorzystaniu własności homologicznych danych dotyczących punktów stałych oraz użycia teorii przecięć. Podajemy nowe algebraiczne warunki, wystarczające do wykluczania działań z jednym punktem stałym. Przedstawiamy algorytm, który pozwala nam wykluczyć rozważane działania. Wspomniany algorytm daje nowe wyniki wykluczające. Praca dotyczy również działań z dwoma punktami stałymi na sferach, dla których struktury modułów grupowych na przestrzeniach stycznych w punktach stałych nie są ze sobą izomorficzne. Pytanie dotyczące takich działań zostało zadane przez Smitha. Hipoteza Laitinena sugeruje negatywną odpowiedź na pytanie Smitha dla grup spełniających określone warunki algebraiczne. Chociaż wspomniana hipoteza nie jest prawdziwa w pełnej ogólności, zachodzi ona jednak dla szeregu grup skończonych. Hipoteza Laitinena pozostaje nierozstrzygnięta dla różnych rodzin grup. Naszym głównym wynikiem tej części rozprawy jest wskazanie nowej nieskończonej rodziny grup skończonych, dla których zachodzi hipoteza Laitinena.
The thesis concerns exotic smooth actions of finite groups on spheres with one and two fixed points. The first subject of our research are exclusions of smooth one fixed point actions of finite groups on spheres. We develop a strategy of excluding of such actions on spheres of a given dimension. The strategy relies on homological properties of the fixed point data and intersection theory. We provide new algebraic conditions, sufficient to exclude one fixed point actions. We present an algorithm which allows us to exclude the actions in question. This algorithm provides new exclusion results. This thesis is also concerned with two fixed point actions on spheres having non-isomorphic group module structures on the tangent spaces at the fixed points. The question about the existence of such actions was raised by Smith. There is a conjecture of Laitinen which predicts the negative answer to the Smith question for groups satisfying certain algebraic conditions. Although not true in general, the conjecture holds for many families of finite groups. Still, the Laitinen Conjecture remains unsettled for various families of groups. Our main result of this part is indicating a new infinite family of finite groups for which the Laitinen Conjecture holds.
The thesis concerns exotic smooth actions of finite groups on spheres with one and two fixed points. The first subject of our research are exclusions of smooth one fixed point actions of finite groups on spheres. We develop a strategy of excluding of such actions on spheres of a given dimension. The strategy relies on homological properties of the fixed point data and intersection theory. We provide new algebraic conditions, sufficient to exclude one fixed point actions. We present an algorithm which allows us to exclude the actions in question. This algorithm provides new exclusion results. This thesis is also concerned with two fixed point actions on spheres having non-isomorphic group module structures on the tangent spaces at the fixed points. The question about the existence of such actions was raised by Smith. There is a conjecture of Laitinen which predicts the negative answer to the Smith question for groups satisfying certain algebraic conditions. Although not true in general, the conjecture holds for many families of finite groups. Still, the Laitinen Conjecture remains unsettled for various families of groups. Our main result of this part is indicating a new infinite family of finite groups for which the Laitinen Conjecture holds.
Description
Wydział Matematyki i Informatyki
Sponsor
Keywords
grupa, działanie, punkt stały, wykluczanie, problem Smitha, group, action, fixed point, excluding, Smith problem