Zastosowanie zbiorów wypukłych do minimalnej reprezentacji różnic funkcji wypukłych w sensie Zalgallera
| dc.contributor.advisor | Grzybowski, Jerzy. Promotor | |
| dc.contributor.author | Kolassa, Robert | |
| dc.date.accessioned | 2024-03-13T08:32:58Z | |
| dc.date.available | 2024-03-13T08:32:58Z | |
| dc.date.issued | 2024 | |
| dc.description | Wydział Matematyki i Informatyki | |
| dc.description.abstract | W rozprawie przedstawiono nowe podejście do znajdowania minimalnej reprezentacji różnic funkcji wypukłych (dc-funkcji) w sensie Zalgallera. Zastosowano wyniki badań Palaschke i Urbańskiego nad minimalnymi quasiróżniczkami Demyanova i Rubinova. W szczególności wprowadzono pojęcie maksymalnej pary zbiorów wypukłych ze wspólnym stożkiem recesji oraz powiązano takie pary z minimalnymi reprezentacjami danych dc-funkcji. W tym celu zastosowano dualność Minkowskiego. Ponadto zbadano własności dodawania i odejmowania Minkowskiego w rodzinie wypukłych zbiorów domkniętych o wspólnym stożku recesji. W rezultacie przedstawiono algorytm znajdowania maksymalnej pary równoważnej danej parze. Rozpatrywana jest również minimalna reprezentacja dc-funkcji, która jest zawężeniem różnicy funkcji podliniowych (ds-funkcji) do zwartego zbioru wypukłego. Wprowadzono pojęcie pary L-minimalnej, gdzie L jest zwartym zbiorem wypukłym. Pokazano, że minimalna reprezentacja w sensie Zalgallera zawężonej ds-funkcji odpowiada L-minimalnej parze zwartych zbiorów wypukłych. Udowodniono istnienie i jednoznaczność pary L-minimalnej równoważnej danej parze. Zaprezentowane w rozprawie nowe podejście może być pomocne w udzieleniu odpowiedzi na pytania postawione przez Zalgallera. The thesis presents a new approach to finding the minimal representation of the difference of convex functions (dc-functions) in the sense of Zalgaller. The results of research by Palaschke and Urbański on minimal quasidifferentials of Demyanov and Rubinov are applied. In particular, the notion of a maximal pair of convex sets with a common recession cone is introduced and related to a minimal representation of a given dc-function. Minkowski duality is applied for this purpose. Moreover, the properties of the Minkowski addition and subtraction in a family of closed convex sets with a common recession cone are investigated. As a result, an algorithm for finding the maximum pair equivalent to a given pair is presented. The minimal representation of a dc-function, which is a restriction of the difference of sublinear functions (ds-functions) to a convex compact set, is also examined. The concept of an L-minimal pair is introduced, where L is a convex compact set. It is showed that the minimal representation in the sense of Zalgaller of the restricted ds-function corresponds to the L-minimal pair of compact convex sets. The existence and uniqueness of an L-minimal pair equivalent to a given pair is proved. The new approach presented in the dissertation may be helpful in answering the questions posed by Zalgaller. | |
| dc.identifier.uri | https://hdl.handle.net/10593/27667 | |
| dc.language.iso | pl | |
| dc.subject | minimalna reprezentacja dc-funkcji | |
| dc.subject | suma i różnica Minkowskiego | |
| dc.subject | stożek recesji | |
| dc.subject | minimalna para zbiorów wypukłych | |
| dc.subject | minimal representation of a dc-function | |
| dc.subject | Minkowski addition and subtraction | |
| dc.subject | recession cone | |
| dc.subject | minimal pair of convex sets | |
| dc.title | Zastosowanie zbiorów wypukłych do minimalnej reprezentacji różnic funkcji wypukłych w sensie Zalgallera | |
| dc.title.alternative | Application of pairs of convex sets to minimal representations of differences of convex functions in the sense of Zalgaller | |
| dc.type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis |