Konstrukcje egzotycznych działań gładkich na homotopijnych zespolonych przestrzeniach rzutowy i produktach rozmaitości

Abstract

Pierwsza część rozprawy doktorskiej przedstawia konstrukcję egzotycznych gładkich działań grup skończonych na rozmaitościach gładkich hCPn o typie homotopii zespolonej przestrzeni rzutowej CPn. Konstrukcja ta jest oparta na ekwiwariantnej teorii chirurgii, oraz używa szerokiej gamy narzędzi jak: techniki wchłaniania, pierścieni Burnside'a, ekwiwariantnej konstrukcji transwersalnej, L-grup przeszkód Walla oraz wiele innych. Dla grupy alternującej A5 pokazujemy, że zbiór punktów stałych działania gładkiego na sferze S2n może także pojawić się jako zbiór punktów stałych działania gładkiego na hCPn. Podobny wynik jest również dowiedziony dla wielu innych skończonych grup doskonałych, lecz metody tego dowodu nie mogą zostać zastosowane do przypadku grupy A5. W drugiej części, używając tej samej techniki wchłaniania, konstruujemy egzotyczne działania grup cyklicznych na kartezjańskich produktach rozmaitości. Szczególny nacisk jest położony na rozmaitości postaci M×S², gdzie M jest rozmaitością asymetryczną. Ponadto korzystając z ciągu spektralnego Leray-Serre'a pokazujemy, że wszystkie działania wolne okręgu S¹ na M×S¹ są równoważne z diagonalnym. The first part of this thesis presents a construction of smooth actions with exotic fixed point set of finite perfect groups on manifolds homotopy equivalent to complex projective space. The construction is rooted in the equivariant surgery theory and uses wide range of tools, including the Absorption Technique, Burnside rings, Equivariant Transversality, Surgery Obstruction L-groups, and many more. For A5, the alternating group on five symbols, we show that the fixed point set of a smooth action on a~sphere can can also appear as the fixed point set of a smooth action on hCPn. A similar result is obtained for many other perfect groups, although methods of the proof do not apply to A5. In the second part, using the same Absorption Technique, we construct exotic actions of cyclic groups on products of manifolds. In particular actions on M×S² are studied, where M is an asymmetric manifold. The problem of recognition of a diagonal action is addressed later, and by means of Leray-Serre spectral sequence solved for free circle actions on M×S¹.