Wybrane wielowymiarowe metody statystyczne dla wielozmiennych danych funkcjonalnych

Abstract

W klasycznych metodach statystycznych obiekty charakteryzowane są za pomocą cech obserwowanych w ustalonym momencie czasu. W prezentowanej rozprawie zakładać będziemy, że obiekty charakteryzowane są za pomocą zmiennych funkcjonalnych. Termin ”dane funkcjonalne” pojawił się po raz pierwszy w pracy Ramsaya i Dalzella (1991). Reprezentacja funkcji za pomocą nieskończonego szeregu ortonormalnego wymaga znajomości nieskończonej liczby współczynników. Zazwyczaj tylko niewielka liczba współczynników rozwinięcia jest istotna. Prowadzi to do istotnej redukcji danych. Ostatecznie mamy zawsze do czynienia z szeregiem czasowym. Istnieją jednakże liczne powody, by szeregi takie modelować jako elementy przestrzeni funkcjonalnej, m.in. dlatego, że unikają „przekleństwa” nadmiernej wymiarowości. Za symboliczny moment startu metod statystycznych dla danych funkcjonalnych należy przyjąć ukazanie się monografii Ramsaya i Silvermana (1997). Uzupełnieniem tej pięknej monografii o dalsze aspekty praktyczne była książka Ramsaya i Silvermana (2002). W przypadku danych funkcjonalnych, dotychczas istniejące prace przyjmują, że obiekty charakteryzowane są za pomocą jednowymiarowych danych funkcjonalnych. Jest tu widoczna rozbieżność między założeniami w przypadku metod klasycznych i metod dla danych funkcjonalnych. W celu usunięcia tej rozbieżności, w prezentowanej rozprawie, skonstruowane zostały metody redukcji wymiaru (analiza składowych głównych, analiza zmiennych dyskryminacyjnych oraz analiza korelacji i zmiennych kanonicznych) dla wielozmiennych danych funkcjonalnych.

In classical statistical methods, the objects are described by means of features observed at a fixed point in time. In the present work we shall consider objects described by means of functional variables. The term “functional data” was first used in the work of Ramsay and Dalzell (1991). The representation of functions using an infinite orthonormal series requires knowledge of an infinite number of coefficients. Usually only a few coefficients of the expansion are significant. This leads to a significant compression of the data. We always end up with a time series. Nonetheless, there are numerous reasons to model such series as elements of a functional space, i.a. because functional data allow one to avoid the “curse” of excessive dimensionality. The symbolic starting point for statistical methods for functional data is taken to be the monograph of Ramsay and Silverman (1997). This fine paper was supplemented by a book, also by Ramsay and Silverman (2002) which addressed further practical aspects of the subject. In the case of functional data, however, the work done to date has assumed that the objects are described by one-dimensional functional data. There is a visible divergence here between the assumptions made in the case of the classical methods and in the case of the methods used for functional data. In the present work, to bridge this gap, dimension reduction methods (principal component analysis, discriminant analysis, and canonical correlation and variable analysis) are constructed for multivariate functional data.