O grafach Reeba i powiązanych obiektach
Loading...
Date
2022
Authors
Michalak, Łukasz Patryk
Editor
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Title alternative
On Reeb graphs and related objects
Abstract
Niniejsza rozprawa przedstawia wyniki dotyczące grafów Reeba funkcji gładkich na rozmaitości. Jednym z podstawowych problemów w tej tematyce jest scharakteryzowanie grafów, które mogą być grafami Reeba określonych klas funkcji. Znacznie trudniejszym problemem jest pytanie o zbiór dopuszczalnych grafów Reeba funkcji na ustalonej rozmaitości. Korzystając z teorii Morse'a podajemy szereg twierdzeń realizacyjnych dla grafów Reeba, począwszy na wyznaczeniu możliwych rang cyklicznych występujących grafów Reeba, a skończywszy na opisaniu ich typów homeomorfizmu czy izomorfizmu. Z grafem Reeba związane są dwa rodzaje obiektów: epimorfizmy na grupę wolną, zwane epimorfizmami Reeba, oraz systemy hiperpowierzchni w rozmaitości. Przedstawiamy szereg własności tych obiektów i ich związków z grafami Reeba. W szczególności dowodzimy, że każdy epimorfizm z grupy podstawowej rozmaitości na grupę wolną jest indukowany przez system hiperpowierzchni, który nie rozspójnia tej rozmaitości. Pokazujemy także związek klas kobordyzmu obramowanego systemów hiperpowierzchni modulo dyfeomorfizmy rozmaitości z klasami silnej równoważności epimorfizmów na grupy wolne. Dokonujemy pełnego wyliczenia tych klas dla powierzchni. Uzyskane wyniki pozwalają rozszerzyć twierdzenia realizacyjne w celu scharakteryzowania epimorfizmów Reeba funkcji Morse'a.
This thesis presents results concerned with Reeb graphs of smooth functions on manifolds. One of the fundamental problems in this topic is to characterize graphs which could be the Reeb graphs of functions from a given class. More difficult problem is a question on the set of possible Reeb graphs of functions on a fixed manifold. We use Morse theory and combinatorial methods to provide a series of realization theorems for Reeb graphs, starting from determining possible cycle ranks of Reeb graphs and ending with the description of their homeomorphism or isomorphism types. Two kinds of objects are naturally associated with Reeb graphs: epimorphisms onto free groups, called the Reeb epimorphisms, and systems of hypersurfaces in manifolds. We present number of properties of these objects and their connections with Reeb graphs. In particular, we prove that any epimorphism from the fundamental group of manifold onto free group is induced by a system of hypersurfaces non-separating the manifold. We also show the relationship between cobordism classes of systems of hypersurfaces modulo diffeomorphisms of manifold and strong equivalence classes of epimorphisms onto free groups. The full computation of these classes is made for surfaces. The obtained results allow us to extend realization theorems to characterize not only Reeb graphs but also the Reeb epimorphisms of Morse functions.
This thesis presents results concerned with Reeb graphs of smooth functions on manifolds. One of the fundamental problems in this topic is to characterize graphs which could be the Reeb graphs of functions from a given class. More difficult problem is a question on the set of possible Reeb graphs of functions on a fixed manifold. We use Morse theory and combinatorial methods to provide a series of realization theorems for Reeb graphs, starting from determining possible cycle ranks of Reeb graphs and ending with the description of their homeomorphism or isomorphism types. Two kinds of objects are naturally associated with Reeb graphs: epimorphisms onto free groups, called the Reeb epimorphisms, and systems of hypersurfaces in manifolds. We present number of properties of these objects and their connections with Reeb graphs. In particular, we prove that any epimorphism from the fundamental group of manifold onto free group is induced by a system of hypersurfaces non-separating the manifold. We also show the relationship between cobordism classes of systems of hypersurfaces modulo diffeomorphisms of manifold and strong equivalence classes of epimorphisms onto free groups. The full computation of these classes is made for surfaces. The obtained results allow us to extend realization theorems to characterize not only Reeb graphs but also the Reeb epimorphisms of Morse functions.
Description
Wydział Matematyki i Informatyki
Sponsor
Badania były wspierane przez stypendia naukowe w ramach grantów Narodowego Centrum Nauki: OPUS UMO-2015/19/B/ST1/01458 oraz Sheng 1 UMO-2018/30/Q/ST1/00228, a także przez stypendium doktoranckie Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu.
Keywords
Graf Reeba, funkcja Morse’a, epimorfizm na grupę wolną, koranga, hiperpowierzchnie, kobordyzm obramowany, Reeb graph, Morse function, epimorphism onto free group, hipersurfaces, framed cobordism