Formuły dokładne związane z funkcją Möbiusa krzywej eliptycznej

Abstract

W rozprawie wprowadzam funkcję arytmetyczną związana z krzywą eliptyczną określoną jako współczynniki odwrotności przesuniętej L-funkcji krzywej eliptycznej. Ta nowa funkcja jest analogiczna do klasycznej funkcji Möbiusa. Następnie wprowadzam funkcję m(z) określoną na górnej półpłaszczyźnie jako całka z odwrotności przesuniętej L-funkcji krzywej eliptycznej. Następnie udowadniam wiele analitycznych własności funkcji m(z), W pierwszej części pokazuję, że m(z) jest holomorficzna na górnej półpłaszczyźnie. W dalszej części udowadniam, że funkcja m(z) przedłuża się meromorficznie na całą płaszczyznę i spełnia pewne równanie funkcyjne, wiążące ze sobą wartości funkcji m(z) w punktach z i ¯z oraz opisuję wszystkie osobliwości. W drugiej części, korzystając z własności funkcji Bessela, funkcji Neumanna, funkcji Hankela, funkcji G-Meijera, otrzymuję zespoloną formułę dokładną dla funkcji m(z) w pasie |Im(z)|<2π. In the PhD thesis I define a new function of an elliptic curve as coeficients of the reciprocal of the shifted L-function of an elliptic curve. This new object is connected with the classical Möbius function. Next I introduce a function m(z) which is defined on the upper half plane by the integral of the reciprocal of the shifted L-function of an elliptic curve. I investigate analytic properties of the function m(z). In the first part of my PhD I show that m(z) is a holomorphic function on the upper half-plane Im(z)>0. Further I extend m(z) analytically to a meromorphic function on the whole complex plane, which satisfies a certain functional equation. This functional equation for m(z) connects the values of the function m at the points z and ¯z. Hence from the behaviour of m(z) in the half-plane Im(z)>0 it permits to deduce its behaviour for Im(z)<0. Finally, I describe all singularities of m(z). In the second part of my thesis I obtain a complex explicit formula for the function m(z) in the vertical strip |Im(z)|<2π. This is done by the use of the so called special functions like Bessel function, Neumann function, G-Meijer function and Hankel function together with the Cauchy Residue Theorem. In the proof I also apply hypergeometric functions and some analytic properties of trigonometric functions and the Euler function Γ.