O pewnych uogólnieniach funkcji prawie okresowych i ich zastosowaniach
Loading...
Date
2018
Authors
Advisor
Editor
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Title alternative
On some generalizations of almost periodic functions and their applications
Abstract
Głównym celem rozprawy jest zbadanie rozwiązań równania różniczkowego liniowego y’(x)=λy(x)+f(x), (λ≠0), gdzie f jest funkcją prawie okresową w uogólnionym sensie. Rozważamy dwie klasy uogólnionych funkcji prawie okresowych - klasę funkcji prawie okresowych względem miary Lebesgue'a (w skrócie: μ-p.o.) oraz klasę funkcji prawie okresowych w sensie Lewitana (w skrócie: LAP). Dla obu klas podajemy warunki, które gwarantują odpowiednio istnienie oraz nieistnienie uogólnionego rozwiązania prawie okresowego. Ponieważ rozwiązania powyższego równania zazwyczaj można wyrazić za pomocą splotu z pewną funkcją z przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a, więc szczególna uwaga jest poświęcona operatorowi splotu. Ponadto w niniejszej rozprawie rozważamy tak zwany model ,,leaky-integrate-and-fire''. Model ten jest określony dla tego samego równania różniczkowego liniowego (λ ≤ 0). W modelu tym badamy własności tak zwanego ,,firing map'', ,,displacement map'' oraz liczby obrotu. Ponadto w rozprawie porównujemy klasę ciągłych funkcji μ-p.o. z klasą funkcji LAP. Jednocześnie, podajemy odpowiedź na pewien otwarty problem dotyczący funkcji prawie automorficznych.
The main goal of this thesis is to examine solutions of linear differential equation y’(x)=λy(x)+f(x), (λ≠0), where f is almost periodic function in a generalized sense. We consider two classes of generalized almost periodic functions - the class of almost periodic functions in view of the Lebesgue measure (briefly: μ-a.p.) and the class of almost periodic functions in the Levitan sense (briefly: LAP). For both classes we give conditions which guarantee respectively an existence and a nonexistence generalized almost periodic solution. Since a solution of above equation usually can be expressed by means of the convolution with some function from the space Lebesgue integrable functions, so a special attention is devoted by the convolution operator. Moreover, in this dissertation we consider so-called ,,leaky-integrate-and-fire'' model. This model is defined for the same linear differential equation (λ ≤ 0). I this model we investigate properties of the so-called ,,firing map'', ,,displacement map'' and ,,rotation number''. Moreover, in this thesis we compare the class of continuous μ-a.p. functions with the class of LAP functions. Simultaneously, we give an answer to the some open question concerning almost automorphic functions.
The main goal of this thesis is to examine solutions of linear differential equation y’(x)=λy(x)+f(x), (λ≠0), where f is almost periodic function in a generalized sense. We consider two classes of generalized almost periodic functions - the class of almost periodic functions in view of the Lebesgue measure (briefly: μ-a.p.) and the class of almost periodic functions in the Levitan sense (briefly: LAP). For both classes we give conditions which guarantee respectively an existence and a nonexistence generalized almost periodic solution. Since a solution of above equation usually can be expressed by means of the convolution with some function from the space Lebesgue integrable functions, so a special attention is devoted by the convolution operator. Moreover, in this dissertation we consider so-called ,,leaky-integrate-and-fire'' model. This model is defined for the same linear differential equation (λ ≤ 0). I this model we investigate properties of the so-called ,,firing map'', ,,displacement map'' and ,,rotation number''. Moreover, in this thesis we compare the class of continuous μ-a.p. functions with the class of LAP functions. Simultaneously, we give an answer to the some open question concerning almost automorphic functions.
Description
Wydział Matematyki i Informatyki
Sponsor
Keywords
funkcje prawie okresowe w sensie Lewitana, splot, równanie różniczkowe liniowe, model leaky integrate-and-fire, funkcje prawie okresowe względem miary Lebesgue’a, almost periodic functions in the Levitan sense, almost periodic functions in view of the Lebesgue measure, convolution, linear differential equation, leaky integrate-and-fire model