Doktoraty (WMiI)

Permanent URI for this collection

https://repozytorium.amu.edu.pl/handle/10593/769

Browse

Browsing Doktoraty (WMiI) by Subject "abelian varieties"

Now showing 1 - 2 of 2
  • Item
    Abelian varieties over p-adic fields
    (2020) Garnek, Jędrzej; Gajda, Wojciech Jerzy. Promotor; Naskręcki, Bartosz. Promotor
    Celem tej pracy jest przedstawienie wyników dotyczących trzech problemów związanych z rozmaitościami abelowymi nad ciałami p-adycznymi. W pierwszej części rozprawy badamy arytmetyczną złożoność p-torsji rozmaitości abelowej nad ciałem liczb p-adycznych. Jest to związane z otwartym problemem, postawionym przez David i Westona w 2008 r. W pracy wskazujemy na związek tego problemu z pojęciem kanonicznego podniesienia rozmaitości abelowej. Próbujemy również zweryfikować hipotezę David i Westona dla krzywych eliptycznych z mnożeniem zespolonym, co prowadzi do poszukiwania liczb pierwszych w ciągach zadanych rekurencyjnie. W następnej części pracy badamy ekwiwariantne zachowanie ciągu Hodge'a-de Rhama dla krzywej z działaniem grupy skończonej w dodatniej charakterystyce. Pokazujemy między innymi, że jeżeli ciąg Hodge'a-de Rhama tej krzywej rozszczepia się, to działanie to musi być słabo rozgałęzione. Omawiamy również twierdzenia odwrotne oraz wskazujemy na powiązanie tego problemu z podnoszeniem nakryć do pierścienia wektorów Witta długości 2. Pozwala nam to na wskazanie nowych przykładów rozmaitości abelowych bez kanonicznych podniesień. W ostatniej części pracy dowodzimy dolnego oszacowania na liczbę klas ciała podziału. Oszacowanie to zależy od rangi grupy Mordella-Weila rozmaitości abelowej oraz redukcji punktów p-torsyjnych.
  • Item
    Arytmetyka Grupy Mordella-Weila na rozmaitości abelowej nad ciałem skończenie generowanym nad Q
    (2010-06-07T08:48:40Z) Rzonsowski, Piotr; Banaszak, Grzegorz. Promotor
    Niniejsza rozprawa jest poświęcona rozwiązaniu dwóch problemów. Pierwszym zagadnieniem jakie jest rozważany w rozprawie jest problem nośnika. Jako pierwszy sformułował go P. Erdös w następujący sposób: Załóżmy, że dla pewnych liczb całkowitych x, y następujący warunek jest spełniony:Supp(xn − 1) implikuje Supp(yn − 1),dla wszystkich liczb naturalnych n. Czy z tego wynika, że x = y.Problem ten został rozwiązany przez C. Corrales-Rodrigáñez i R. Schoof. Następnie problem ten został uogólniony na rozmaitości abelowe nad ciałem liczbowym i był rozwiązany dla szczególnych klas rozmaitości abelowych przez Banaszaka, Gajdę, Krasonia, Khare, Prasada i innych.W swojej rozprawie rozszerzam ten wynik dla abelowych rozmaitości nad ciałem skończenie generowanym nad Q.Drugi problem dotyczy liniowej zależności punktów na rozmaitości abelowej. Pytanie to sformułował W. Gajda w 2002 r. w następujący sposób:Czy dla rozmaitości abelowej A i jej podgrupy G następujące warunki są równoważne:· P należy do podgrupy G;· rv(P) należy do rv(G), dla prawie wszystkich v z pierścienia OFProblematyka ta była rozważana w przeciągu kilku następnych lat. Jednakże wszystkie wyniki uzyskiwane w tych pracach były dla rozmaitości abelowych nad ciałem liczbowym. W rozprawie rozszerzam ten problem na ciała skończenie generowane nad Q.